Исходя из факта Бозе-эйнштейновской конденсации электронов в атоме, установленного в 2014 году на основе экспериментальных данных, были сформулированы базовые положения современной теории атома [1]. Наиболее значимые и легко проверяемые результаты последних исследований свойств атома рассмотрены в работе [2]. В данной статье более подробно обсуждается одно из ключевых следствий теории – дробные значения главного квантового числа водородоподобных атомов и ионов в виде простых дробей n ≈ N1/N2. Особое внимание уделено доказательству неслучайного характера совпадений фактических величин n и соответствующих простых дробей.