Razlika između broja i brojačice: od semiotike do matematičke filozofije

U svakodневnoj riječi riječi «broj» i «brojačica» često se koriste kao sinonimi, ali s znanstvenom, lingvističkom i matematičkom perspektive između njih postoji fundamentalna i nepreostvarenja razlika. Zbrka ovdje je slična mješanju pojmova «slovo» i «riječ». Razumijevanje te razlike je kritično važno za točno razmišljanje u matematici, informatici, lingvistici i filozofiji.

Semiotički temelj: znak i značenje

Ključ za razlikovanje leži u teoriji znakova (semiotici).

Brojačica (Digit) je ZNAK, SIMBOL. Konkretni grafички znak, koji se koristi za zapis brojeva. To je materijalni objekt (načrt na papiru, sjaj na ekranu, kombinacija signala u procesoru), koji označava, kodira određeno količinsko značenje u okviru dane sisteme brojanja. Arapske brojačice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — to su deset osnovnih brojačica desetobazne sisteme. Rimski znakovi I, V, X, L, C, D, M — brojačice druge, nepozicijske sisteme.

Broj (Number) je ABRAKTNA SUSTINJA, IDEA, ZNAČENJE. To je misljenička konceptija, koja označava količinu, veličinu, redoslijed ili kod. Broj «pet» postoji neovisno o tome kako ga zapisemo: brojačicom 5, rimskom brojačicom V, riječju «pet», petom palicom |||||, dvobaznim kodom 101, ili kao skupina svih pet objekata. Broj je smisao koji stoji iza brojačice.

Prosta analogija: Brojačica je konverat s napisanim adresom. Broj je sadržaj pisma, informacija. Različiti konverati (brojačice različitih sustava) mogu nositi jedno i isto pismo (jedan broj).

Matematička i povijesna perspektiva

Povijest razvoja: Primitivni ljudi su radili s brojevima (idejom «mnogo» ili «malo»), ali nisu imali razvijenu sistem brojačica. Stvaranje brojačica (kao kod sumera, Egipćana, Maya) je postigao veliki kulturni skok, omogućivši zapis i rad s većim brojevima.

Sistemi brojanja: Brojačice su «alfabet» sistema brojanja. U desetobaznom sistemu alfabet se sastoji od 10 brojačica, u dvobaznom — iz 2 (0 i 1), u šestnaestobaznom — iz 16 (0-9 i A-F). Isti broj dvjesto petdeset pet će biti zapisan različitim brojačicama:

Desetobazni sustav: 255 (tri brojačice: 2, 5, 5)

Dvobazni sustav: 11111111 (osam brojačica: jedinice)

Šestnaestobazni sustav: FF (dvije brojačice: F, F)
Ovdje je očito: broj jedan, a kombinacije brojačica — različite.

Matematička priroda: Brojevi sudjeluju u operacijama (složenje, množenje), imaju svojstva (parnost, prostota), ulaze u mnoštva (prirodni, realni, kompleksni). Brojačice su samo materijal za zapis. Ne možemo složiti brojačicu «2» i brojačicu «3». Složimo brojeve koje one označavaju, a rezultat zapisemo drugom brojačicom (ili kombinacijom) — «5».

Lingvistički i svakodnevni aspekt: izvor zbrke

Zašto je zbrka tako izdrživa? U ruskom jeziku ima nekoliko razloga:

Metonimija (smješnost): Govorimo: «Napiši svoje brojačice» (imajući na umu broj telefona, t.e. niz brojačica, koji obrazuju broj). ili: «Veliki brojevi» (o financijskim iznosima). Ovdje se naziv dijela (brojačica) prenosi na cjelinu (broj).

Utjecaj engleskog jezika: Englesko riječ «number» može značiti i abstraktni broj, i brojačicu, broj, brojnik. U profesionalnom kontekstu za znak se koristi «digit», ali u svakodnevnoj upotrebi zamyšljanje ostaje.

Usporavanje u svakodnevnoj upotrebi: Fraza «dvobrojni broj» je potpuno ispravna, jer ukazuje na broj brojačica u zapisu. Ali fraza «brojačice rastu» (o statistici) je metonimija.

Interesantni činovi i primjeri:

Nula — broj ili brojačica? I to, i drugo. Kao brojačica — to je simbol «0», koji se koristi za oznaku nepostojanja reda u pozicijskoj sistemu. Kao broj — to je puno matematički objekt, koji označava neutralni element složenja. Indijski matematičari, koji su ovo otkrili, su razdvojili ta pojmova: imali su simbol (šunja — praznina) i koncept.

«Arapske» brojačice. Brojačice 0-9, koje koristi cijeli svijet, su povijesno došle iz Indije kroz arapski svijet. To pokazuje da su brojačice uslovljeni grafички simboli, koji mogu mijenjati se kulturolozi, dok su abstraktni brojevi (npr. «π» ili «√2») univerzalni.

Informatika i kodiranje. U računalu sve je predstavljeno u dvobaznom kodu — nizovima brojačica 0 i 1 (bitova). Ove brojačice kodiraju brojeve (celobrojni, realni), slova, naredbe, piksele slike. Ista digitalna sekvenca 01000001 može se interpretirati kao broj 65 (u desetobaznom sistemu) ili kao slovo «A» (u kodiranju ASCII). Ovdje je brojačica fizički nositelj, a broj/slovo — njegova interpretacija.

Filozofsko izmjeravanje: platonizam vs. nominalizam

Sporno o prirodi brojeva ima stara filozofska tradicija.

Platonizam (realizam): Brojevi postoje kao idealne, vanvremenske sущnosti u svijetu ideja, neovisno o ljudskom razumu. Mi samo otvaramo ih i izmišljamo brojačice za njihovo oznakovanje. Brojačica je sjenka broja na zidu pećine.

Nominalizam: Brojevi su samo ugodni nazivi (nomeni), koje ljudi pridjeljuju grupama objekata za njihovu klasifikaciju. Oni ne postoje neovisno. Brojačice u ovoj paradigmi su materijalni oznake za te uslovljene pojmova.

Konceptualizam (kompromis): Brojevi su koncepti, proizvedeni ljudskim razumom u procesu interakcije s svijetom. Brojačice su njihove formalne, prihvaćene reprezentacije.

Povratna vrijednost razlikovanja

Zašto je to važno izvan akademskih spora?

Učenje matematike: Pravilno korištenje termina od djetinjstva stvara čvrsto pojamno razmišljanje. Dijete mora razumjeti da je «deset» broj, koji se može predstaviti jednom brojačicom «1» i brojačicom «0».

Programiranje i data science: Programer mora čvrsto razlikovati tipove podataka: integer (celobrojni broj) i string (niz znakova, koji može sadržavati brojačice, ali se tretira kao tekst). 123 kao broj može se množiti sa 2, dobivajući 246. "123" kao niz brojačica pri konkatenaciji s "2" će dati "1232", a ne 125 ili 246.

Kriptografija i teorija informacije: Brojačice su elementi koda, a brojevi (šifri, haši) su zakodirana poruka ili matematički rezultati transformacija.

Završetak: hijerarhija abstrakcije

Tako, razlika između broja i brojačice je razlika između sadržaja i oblika, smisla i znaka, abstraktne sущnosti i materijalnog nositelja.

Broj je ideja količine. On je objektivan (dva jabuka postoje neovisno o našem jeziku), ali se izražava subjektivno (različitim sistemima zapisa).

Brojačica je slovo alfabeta za zapis brojeva, kulturološki artefakt, alat.

Mješanje ovih pojmova je širen greh, koji uprostavljava sliku svijeta. Tocno njihovo razlikovanje je znak razvijenog pojamnog razmišljanja i prvi korak ka razumijevanju kako se jezik, matematika i stvarnost međusobno povezuju. Broj živi uumu, brojačica — na papiru ili ekranu. I dok razmišljamo o brojevima, radimo s vječnim idejama; kada zapisujemo ih brojačicama — samo dogovaramo se o uslovljenim oznakama.

Permanent link to this publication: